Предисловие редактора перевода

Предисловие редактора перевода

Авторы назвали книгу «Современная актуарная теория риска». Как видно из оглавления, они относят к современной теории риска задачи и методы, применяемые ныне в страховых компаниях для практических расчетов, а также теоретические конструкции, позволяющие обосновать актуарные методы с общих позиций, например теорию полезности и теорию упорядочения рисков. К классической теории риска обычно относят традиционно входящие в университетские курсы аналитические результаты, например, результаты о вероятности разорения в моделях коллективного риска. Слово «современная» в заглавии книги связано и с тем, что она основана на относительно недавних публикациях в периодической печати.

Мы не будем подробно останавливаться на содержании книги — это уже сделали авторы в своем предисловии. Остановимся только на гл. 8 и 9, посвященных технике расчета резервов по произошедшим, но не заявленным убыткам с помощью треугольников исчерпания. Она широко распространена и служит основой для разнообразного программного обеспечения. Однако пользователи часто упускают из виду, что расчет треугольников исчерпания опирается на выбор базовой линейной или обобщенной линейной модели для страховых выплат, на основе которой и строится прогноз величины резерва по страховым случаям прошлых лет. В настоящей книге этот аспект подчеркнут. Выбор соответствующих моделей и их статистическое обоснование, обсуждаемые в книге, являются сложными задачами. В их решении используются предположения о виде распределений (в книге в основном затрагивается пуассоновское распределение) и техника оценивания и проверки статистических гипотез (здесь в основном применяется

метод максимального правдоподобия).

Материал гл. 8 и 9 дан в форме отчета о проведенных исследованиях, детали которых подчас остаются за

рамками изложения. Поэтому эта часть книги, строго говоря, не может называться учебником для начинающего, а является руководством для более опытного в вероятностно-статистическом анализе читателя. В известном смысле изложение гл. 8 и 9 является промежуточным между расширенным руководством для пользователей специализированных программных пакетов и собственно учебником по статистическому моделированию применительно к весьма специальным актуарным задачам. Поскольку упомянутых выше учебников вообще не существует, ценность книги вряд ли можно поставить под сомнение. Если иногда заинтересованный читатель почувствует себя недостаточно подготовленным, ему следует обратиться к стандартным учебникам или к периодической литературе.

Авторы книги проявили большое внимание к русскому переводу и снабдили его отдельным предисловием. Мы пользуемся случаем поблагодарить их за содействие изданию книги на русском языке.

Издание настоящего перевода было бы невозможно без поддержки со стороны НПФ «Газфонд», СК «Согласие» и Представительства в Москве Кёльнского перестраховочного общества. Я пользуюсь случаем искренне поблагодарить за поддержку настоящего издания А. Г. Грязнову, уделяющую большое внимание развитию актуарной математики в России, И. Н. Жука, В. И. Мудракова и К. Е. Турбину.

Я благодарен Б. А. Амосову и Г. М. Цукерман, внесшим решающий вклад в подготовку этого издания, а также всем тем, кто в той или иной мере оказывал в этом помощь и содействие.

В. К. Малиновский

Предисловие авторов к русскому изданию

Когда около 25 лет назад в университете Амстердама начинались актуарные исследования, преимущественно ориентированные на проблемы страхования не-жизни, не существовало доступных учебников по этому предмету. Мы постепенно накапливали и улучшали учебный материал, публикуя его сначала в виде конспекта, затем буклета, потом книги (на голландском языке), которая уже была похожа на ту, которую держит в руках читатель. Мы надеемся, что перевод этой книги сначала на английский, затем на китайский и теперь на русский язык поможет специалистам многих стран преодолеть утомительную начальную фазу подготовки материала для курсов лекций по актуарной теории риска.

Мы тщательно отбирали темы, которые считаем важными для актуарной теории и практики. Поэтому кроме традиционных для курса актуарной математики страхования не-жизни тем, таких, как рекуррентная формула Панджера, сложные пуассоновские процессы, классическая теория разорения и доверительная теория, мы включили в книгу также главы по обобщенным линейным моделям и их связям с анализом произошедших, но не заявленных убытков, а также по упорядочению рисков. Эта книга является одним из учебников, используемых Европейской академией актуариев в рамках европейского актуарного образования.

Мы уже имели плодотворные контакты с российскими исследователями, которые привели к интересным дискуссиям по поводу актуарного образования и его вероятностно-статистических оснований. Мы рассчитываем в дальнейшем на более тесное сотрудничество российских и западноевропейских специалистов, приносящее взаимную пользу, в частности, в области обучения студентов актуарных и страховых специальностей.

Авторы благодарят В. К. Малиновского и весь коллектив, осуществивший перевод и издание нашей книги на русском языке, за проделанную ими сложную работу. Благодаря переводу книга найдет дорогу к многим студентам, в результате чего, как мы надеемся, актуарная наука в России получит дальнейшее развитие. Мы рассчитываем, что и актуарная практика извлечет пользу из данной книги, в которой содержится множество методов, непосредственно применимых в практических ситуациях.

Р. Каас, М. Гувертс, Ж. Дэнэ, М. Денут

Предисловие Ханса Гербера

Теория риска признается важной частью актуарного образования; это, в частности, подтверждается программой экзаменов Общества актуариев (SoA) и рекомендациями Консультативной группы (Groupe Consultatif). Поэтому в данной области желательно иметь много разных учебников.

Я рад приветствовать появление новой книги по теории риска, которая является оригинальной в нескольких отношениях. Книга состоит из двух частей — обязательной и, как говорят в фигурном катании или гимнастике, произвольной. В обязательную часть входят главы 1-4, которые соответствуют официальным материалами Общества актуариев. Это обстоятельство делает книгу полезной для студентов при подготовке к сдаче актуарных экзаменов. Отбор тем остальных глав отражает предпочтения авторов, например, упорядочение рисков, тема гл. 10, — предмет научных интересов авторов. Я бы упомянул также гл. 8; насколько мне известно, настоящее издание является первой книгой по теории риска, дающей введение в обобщенные линейные модели.

Книга написана ясным языком. С педагогической точки зрения ее большим достоинством являются многочисленные упражнения. Поэтому ее удобно использовать в качестве учебного пособия.

Я поздравляю авторов книги и хочу также поблагодарить их от имени студентов и преподавателей за усилия по переводу книги на английский язык. Я не сомневаюсь, что книга с успехом будет использоваться в учебном процессе.

Х. Гербер, Лозанна, 3 октября

Предисловие

Книга охватывает значительную часть разделов математики страхования не-жизни. Ее первый вариант был предназначен для использования в курсах актуарных наук в университетах Амстердама и Лё-вена, однако ее голландская версия использовалась также в других университетах и в Голландском актуарном обществе. Книга закладывает основу для дальнейших исследований в области актуарных наук. Представленные методы могут использоваться не только в страховании не-жизни, но и в других областях актуарных наук, а также, разумеется, в актуарной практике.

Наряду со стандартной теорией эта книга содержит методы, представляющие интерес для актуарной практики, например, метод исчисления тарифов в автомобильном страховании, принципы расчета премий и модели, связанные с произошедшими, но не заявленными убытками. Обсуждаются также важные для актуарных расчетов вопросы статистического анализа обобщенных линейных моделей. Эти модели обладают рядом качеств, которых нет у обычных линейных моделей и моделей регрессии, обычно используемых в эконометрике. Дается также краткое введение в доверительную теорию. Еще одна рассматриваемая тема, всегда привлекавшая внимание специалистов по теории риска, — это изучение упорядочения рисков.

Книга отражает современное состояние актуарной теории риска. Многие из представленных результатов были опубликованы в актуарной периодике лишь в последнем десятилетии прошлого века.

Изучаемые модели и принятые предположения

В страховании жизни существенным элементом модели является время. Между уплатой премий и выплатой пенсии могут проходить десятилетия. В математике страхования не-жизни временной фактор присутствует не столь явно. Здесь обычно интенсивнее используются статистические модели. Материал первых пяти глав этой книги является основным для актуарных аспектов страхования не-2001

Предисловие авторов к жизни. Остальные главы содержат краткое введение в некоторые другие вопросы, традиционно включаемые в тематику актуарных аспектов страхования не-жизни.

1. Модель ожидаемой полезности. Модель ожидаемой полезности может объяснить само существование института страхования. В этой модели страхователь является лицом, не склонным к риску и принимающим разумные решения. По неравенству Иенсена он готов платить больше, чем ожидаемое значение его убытков, за свою финансовую безопасность. Механизм принятия решений при наличии неопределенности состоит в сравнении не ожидаемых платежей, возникающих в результате решений, а ожидаемых полезностей этих платежей.

2. Модель индивидуального риска. В модели индивидуального риска, как и в модели коллективного риска, которой посвящена следующая глава, основным объектом является случайная величина, описывающая суммарные выплаты по портфелю договоров страхования. Мы можем вычислить, например, вероятность того, что капитала данного размера окажется достаточно для осуществления этих выплат. Можно также вычислить сумму под риском уровня 95% для данного портфеля, которая является 95%-й квантилью функции распределения суммарных выплат. Суммарный убыток по портфелю моделируется суммой всех убытков по отдельным договорам, которые предполагаются независимыми. Такие убытки не всегда удается описать какчисто дискретные или чисто непрерывные случайные величины. Поэтому мы вводим понятие, включающее в себя величины обоих этих типов в качестве частных случаев. Модель индивидуального риска, даже в наиболее реалистичном варианте, не всегда удобна, поскольку исходные данные используются непосредственно и не «сжимаются» путем подбора удобной модели. Для получения результатов в этой модели мы используем не только свертку. В некоторых частных случаях помогает использование производящей функции моментов. Мы описываем также приближения, основанные на подгонке моментов распределения. Центральная предельная теорема, опирающаяся на подгонку первых двух моментов, недостаточно точна в важном частном случае асимметричного распределения. Поэтому мы изучаем два более тонких метода, использующих три момента: аппроксимацию смещенным гамма-распределением и нормально-степенную аппроксимацию.

3. Модель коллективного риска Для аппроксимации модели индивидуального риска часто используется модель коллективного риска.русскому изданию. В этой модели страховой портфель рассматривается как процесс, порождающий во времени страховые убытки. Размеры убытков считаются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, не зависящими также от числа страховых случаев. Поэтому суммарный убыток по портфелю представим в виде суммы случайного числа независимых одинаково распределенных индивидуальных убытков. Обычно также предполагается, что число страховых случаев имеет распределение Пуассона с подходящим средним. В качестве функции распределения индивидуальных убытков выбирается усреднение функций распределения убытков по отдельным договорам. Это приводит к хорошо работающей и удобной для вычислений модели. Далее описаны некоторые методы вычисления функции распределения суммарных убытков, включая рекуррентную формулу Панджера.

4. Теория разорения. В теории разорения изучается устойчивость страховщика. Предполагается, что в момент времени t = 0 его капитал равен u, а затем линейно возрастает по времени за счет неслучайных премий и скачками уменьшается при возникновении убытков. Разорение наступает, если в некоторый момент времени капитал становится отрицательным. Вероятность наступления такого события в предположении, что премия и поток убытков остаются неизменными, является хорошим показателем того, насколько согласованы активы

и пассивы страховщика. Если они плохо согласованы, можно прибегнуть к дополнительному перестрахованию, повысить размер премий или увеличивать начальный капитал.

Аналитические методы вычисления вероятности разорения работают удовлетворительно, только когда распределения убытков являются смесями и комбинациями экспоненциальных распределений. Для дискретных распределений с небольшим количеством скачков существуют эффективные численные алгоритмы. Можно также вывести довольно точные верхние и нижние границы для вероятности разорения. Вместо вероятности разорения часто рассматривают только ее простую экспоненциальную оценку (см. неравенство Лундберга).

5. Принципы расчета премий. В предположении, что известна функция распределения риска или хотя бы некоторые ее характеристики, такие, как среднее и дисперсия, принцип расчета премий сопоставляет риску вещественное число, которое используется как величина финансовой компенсации тому, кто принимает на себя этот риск. Отметим, что мы рассматриваем только рисковые премии, не учитывая накладные расходы страховой компании. По закону больших чисел, чтобы избежать разорения, нужно, чтобы суммарная премия была не меньше среднего значения суммарных убытков. Кроме того, в состав премии необходимо включать надбавку, компенсирующую тот факт, что позиция страховщика становится более опасной. Посредством такой надбавки страховщик создает резерв, который можно использовать в неблагоприятные периоды, чтобы избежать разорения. Мы изложим несколько принципов расчета премий, а также опишем некоторые важные свойства, которыми должен обладать любой такой принцип. Выбор принципа расчета премий существенно зависит от целей исследователя и от сущности задачи. Наилучшего же принципа не существует.

6. Системы бонус-малус В некоторых видах страхования, например, в автомобильном страховании, способ расчета премии на основании лишь априорной информации оказывается неудовлетворительным. Во многих странах для учета влияния факторов риска, которые нельзя вводить в тариф (таких, как расовая принадлежность, а часто и пол страхователя), и ненаблюдаемых факторов (таких, как состояние здоровья и рефлексов и склонность к авариям) используются апостериорные рейтинговые системы. С одной стороны, в таких системах при расчете премии используются факторы, известные априори, та

кие, как тип страхового покрытия, цена или вес машины. С другой стороны, производится корректировка премий с помощью некоторой системы бонус-малус, что уменьшает премию страхователя после без аварийного года и увеличивает ее после года с одной или несколькими авариями. В этом случае премии точнее учитывают характеристики водителя. Моделью таких систем может служить цепь Маркова.

7. Доверительная теория. Изменчивость размера убытков по договору от года к году является следствием двух различных причин.

Первая причина — качество риска, описываемое параметром риска. Он представляет собой средние годовые убытки в гипотетической ситуации, когда договор ежегодно воспроизводится без изменений в течение длительного периода времени. Вторая причина — чисто случайные отклонения от параметра риска, связанные с тем, насколько везет (или не везет) страхователю в данном году. В доверительной теории предполагается, что качество риска реализуется в соответствии с некоторым структурным распределением и что условно, при фиксированном качестве риска, распределение размера убытков имеет среднее, равное параметру риска. Предиктор для выплат следующего года, линейный по прошлым наблюдениям и оптимальный в смысле наименьших квадратов — это взвешенное среднее наблюденных убытков по отдельным договорам и по всему портфелю в целом. Весовой множитель можно трактовать как уровень доверия к предыдущим наблюдениям по данному договору. Поэтому он называется коэффициентом доверия, а получаемые премии называются доверительными премиями. В качестве частного случая мы изучаем систему бонус-малус для автомобильного страхования, основанную на пуассо-новских распределениях со смешивающим гамма-распределением.

8. Обобщенные линейные модели. Многие задачи актуарной статистики можно записать в виде обобщенных линейных моделей (ОЛМ). В них слагаемое ошибки может иметь и другие распределения, помимо нормального, например, пуассоновское, биномиальное или гамма-распределение. Кроме того, среднее значение зависимой переменной не обязательно линейно зависит от регрессоров и может представляться, например, логарифмической функцией от линейной формы зависимых переменных. В случае логарифмической функции получаются мультипликативные модели, которые хорошо работают во многих приложениях к страхованию.

Таким образом, например, можно оценивать резервы произошедших, но не заявленных убытков, как описано в гл. 9. Нетрудно также оценить премии для водителей из региона i, входящих в класс j в системе бонус-малус, при весе машины w.

В доверительных моделях имеются групповые случайные эффекты, а в ОЛМ эффекты фиксированы, хотя и не известны. Для последнего класса задач имеются программы, работающие с разнообразными моделями.

9. Техника вычисления резервов ПНЗУ. Важной статистической задачей для практикующего актуария является предсказание суммарного размера Произошедших, но Не Заявленных Убытков (ПНЗУ).

Основные методы оценивания этой величины основаны на так называемых треугольниках исчерпания, в которых суммарные убытки сгруппированы по году наступления страхового случая и годам выплат.

Многие традиционные актуарные методы вычисления резервов сводятся к использованию оценок максимального правдоподобияв частных случаях ОЛМ.

10. Упорядочение рисков. В основе актуарной профессии лежит способность формулировать предпочтения в отношении будущих случайных потерь или доходов. Поэтому стохастическое упорядочение

является существенной частью этой книги. Иногда бывает известно, что любое разумное лицо, принимающее решения, из двух убытков X, Y выберет X, поскольку Y в некотором смысле «больше», чем X. Может оказаться и так, что лишь относительно небольшая группа из всех не склонных к риску лиц, принимающих решения, приходит к согласию относительно того, какой из этих рисков предпочтительнее. При этом риск Y может быть больше риска X или обладать большим разбросом значений, что также делает риск менее привлекательным. Интерпретируя больший разброс как более тяжелые хвосты функции распределения, мы приходим к методу упорядочения рисков, обладающему многими привлекательными свойствами. Например, более предпочтительный в этом смысле риск оказывается и более предпочтительным в смысле премий нулевой полезности, вероятностей разорения и премий стоп-лосс. Можно показать, что модель коллективного риска, рассматриваемая в гл. 3, обладает большим разбросом, чем аппроксимируемая модель индивидуального риска. Поэтому модель коллективного риска приводит к более консервативным решениям в смысле размера премий, размера резервов или суммы под риском. Можно также показать, что страхование стоп-лосс, оптимальность которого в смысле дисперсии оставляемого на собственном удержании убытка продемонстрирована в гл. 1, также является наиболее предпочтительным (при прочих равных условиях) для любого лица, не склонного к риску.

Иногда премии стоп-лосс приходится рассчитывать в условиях неполной информации. Мы приводим метод вычисления максимальной премии стоп-лосс при известных среднем, дисперсии и верхней границе риска.

В моделях индивидуального и коллективного риска мы предполагаем, что размеры убытков являются стохастически независимыми неотрицательными случайными величинами. Иногда это предположение не выполняется. Например, имеется очевидная зависимость между рисками смерти супругов, между рисками землетрясения в соседних домах, а также между последовательными выплатами по договору страхования жизни, причем не только когда выплаты начинаются или прекращаются в случае смерти, но и тогда, когда это происходит по другой случайной причине. Мы даем краткое введение в теорию упорядочения рисков для таких случаев. Оказывается, что премия стоп-лосс для суммы случайных величин с неизвестным совместным распределением и фиксированными маргинальными распределениями максимальна, когда зависимость между этими величинами максимальна, что не позволяет им «хеджировать» друг друга.

Образовательные аспекты

Поскольку данный курс более десяти лет использовался в университете Амстердама и в других университетах, мы провели множество экзаменов и составили длинный список упражнений. Кроме них в тексте приведено много примеров, что позволяет отнести книгу к разряду учебников. Менее элементарные упражнения (их немного) отмечены знаком [4t]; их можно опустить.

Степень требуемой математической подготовки соответствует программам по математической экономике (эконометрике или актуарной математике) или математической статистике первой ступени бакалавриата, что позволяет использовать книгу на заключительном этапе таких программ или в последующих магистерских программах собственно по актуарной математике или по финансовой экономике с уклоном в страхование. Чтобы сделать книгу доступной для неактуариев, мы избегали терминологии и обозначений, принятых в математике страхования жизни. Поэтому студенты, изучающие прикладную математику или статистику и интересующиеся вероятностными аспектами страхования, также смогут читать эту книгу. Чтобы дать представление об уровне математической строгости и сложности статистических выводов, принятых в этой книге, отметим, что в ней систематически используются производящие функции моментов, а характеристические функции и понятия из теории меры не используются. Знакомство с регрессионными моделями не обязательно, но полезно.

Чтобы помочь читателю, в конце книги приведены ответы и указания к упражнениям. Книга содержит также предметный указатель. Таблицы, приведенные в конце книги, могут пригодиться на экзамене. Список литературы не претендует на полноту, это список полезных книг и статей, в которых детально обсуждаются изучаемые темы, а также содержатся указания на работы по близким вопросам.

Значительное внимание уделяется технике вычислений. Излагаются также и классические методы аппроксимации, такие, как центральная предельная теорема (ЦПТ). Эти методы не только позволяют быстро получить результат, но и часто обеспечивают высокую точность. Кроме того, они дают аналитическое решение, так что не нужно повторять расчеты при изменении в данных. Необходимо также подчеркнуть, что «точные» методы являются не более точными, чем исходные данные. Ошибка, обусловленная неточностью исходных данных, часто значительно превышает ошибку метода.

В книге используются обычные обозначения, принятые в математической статистике и математике страхования не-жизни. См., например, книгу [Bowers et al 1986], в которой разделы, посвященные страхованию не-жизни, схожи по стилю с первой частью настоящей книги.

Об издании на английском языке1)

Данная книга представляет собой перевод с голландского издания, которое использовалось в нескольких университетах Голландии и Бельгии. Если не считать мелких исправлений и добавленного раздела о выпуклом порядке и комонотонных рисках, интерес к которым возник уже после выхода второго голландского издания, перевод по содержанию полностью соответствует оригиналу.

Лишь в гл. 6 голландская и бельгийская системы бонус-малус были заменены системой бонус-малус общего вида.

Благодарности

Прежде всего авторы хотят поблагодарить Дэвида Винке за перевод текста на английский язык и набор его в системе TEX. Он также изготовил рисунки.

Многие люди способствовали улучшению этой книги. Как более ранние, так и настоящий варианты тщательно просмотрели наши бывшие студенты, а ныне коллеги Ангела ван Херварден и Дэннис Дан-ненбург. Работая над своими диссертациями, они участвовали в написании текстов, которые частично вошли в настоящую книгу. Мы также благодарны Ричарду Верраллу и Клаусу Шмидту за их замечания. Мы признательны и за многочисленные замечания читателей, студентов и преподавателей.

Р. Каас, М. Гувертс
Амстердам, Лёвен, Лувен-ля-Нёв,

3 октября 2001

1 Напоминаем, что русский перевод осуществлен именно с этого англоязычного издания. — Прим. ред. Ж. Дэнэ М. Денут